Das ist umstritten.
Teile der Literatur lehnen die Anwendbarkeit im Hinblick auf den Schutzzweck der Aufsichtspflicht ab. Die Bestimmung der Aufsichtspflicht verlangt eine objektive Bestimmung der Pflichtanforderungen. Eine subjektive Bestimmung verbietet sich daher (MüKoBGB/Huber, 7. Aufl. 2015, § 1664 Rn. 11-12). Der Schutz des Kindes verlangt es die Aufsichtspflicht objektiv zu bestimmen, da eine Orientierung an der eigenen üblichen Sorgfalt der Eltern zu einem Unterlaufen des Zwecks der Aufsichtspflicht führen könnte.
Andere Teile der Literatur und insbesondere die Rechtsprechung wenden die Haftungsprivilegierung aus § 1664 I auch bei Verletzungen von Aufsichtspflichten an (BGH NJW 1993, 543).
Maßgeblich wird darauf abgestellt, dass eine derartige Beschränkung des Anwendungsbereichs der Vorschrift sich dem Wortlaut nicht entnehmen lässt. Soweit der Gesetzgeber eine Haftungsprivilegierung für die Ausübung der „elterlichen Sorge“ geregelt hat, wäre es damit schwer zu vereinbaren einen derart maßgeblichen Teil der elterlichen Sorge (Aufsichtspflicht) vollständig aus dem Anwendungsbereich der Vorschrift auszunehmen. Hierfür bedürfte es einer ausdrücklichen Regelung durch den Gesetzgeber.
§1664 dient neben dem Schutz des Kindes auch dem Schutz des Verhältnisses zwischen Kindern und Eltern. Geschützt wird der Familienfriede, das innerfamiliäre Gefüge soll von Störungen möglichst freigehalten werden. Dieses Anliegen wäre nur sehr unvollständig verwirklicht, wenn die praktisch bedeutsame Aufsichtspflicht aus dem Anwendungsbereich des § 1664 I ausgenommen würde.